Ircam, Salle I. Stravinsky
1, place I. Stravinsky 75004 Paris
(Entrée libre dans la mesure des places disponibles)
Cette deuxième séance de la dixième saison du Séminaire MaMuX est consacrée à quelques aspects mathématiques et compositionnels de l’homométrie. La théorie des ensembles homométriques apparaît dans les années 30 en cristallographie avec la question de retrouver la structure d'un cristal à partir de sa figure de diffraction, un problème dans lequel une ambiguïté peut exister dans l’étude des distances entre les atomes, deux structures non-équivalentes pouvant avoir le même multi-ensemble de différences [1]. Plus récemment, on retrouve les ensembles homométriques en bioinformatique, liés à des algorithmes de reconstruction de longues séquences [2]. Dans la Set Theory, la Z-relation est liée à la notion de vecteur intervallique d'un ensemble de notes qui correspond à l'ensemble des intervalles qui le composent comptés avec multiplicité [3]. Cette construction a été ensuite généralisée par David Lewin à l’aide du concept de Système d’Intervalles Généralisés [4]. L’interprétation de l’homométrie dans le contexte de la théorie transformationnelle ouvre des questions nouvelles susceptibles d’intéresser à la fois le musicologue, le compositeur et le working mathemusician [5, 6, 7, 8].
On donne une introduction générale à la théorie de l'homométrie, en prenant comme point de départ son rapport avec la théorie de la Z- relation d’Allen Forte [1]. On montre les propriétés fondamentales avec des exemples d'application aux paramètres musicaux et une application musicale du passage au cas non-commutatif. On élargit le champ en introduisant la k-homometrie et la ZM-relation.
La Z-relation qui apparaît en Set Theory correspond mathématiquement à la notion d'homométrie. On peut généraliser doublement cette notion, à la fois en considérant des motifs non plus de taille 2 (intervalle) mais de taille k (k-deck) ; et en considérant les questions de reconstructibilité pour un groupe quelconque agissant sur un ensemble. Il faut alors veiller à la bonne description des objets mathématiques manipulés. En re-spécifiant le cas d'un groupe fini agissant sur lui-même par translation ou par translation/inversion (ce qui nous fait retomber dans la Set Theory avec G=Z/12Z), on peut alors définir les indices de reconstructibilité pour tous les groupes finis. On fait de plus apparaître une heuristique qui doit permettre de montrer le cas des ensembles (et non multi-ensembles) de Z/12Z qui sont 4-reconstructibles (et pas seulement 6-reconstructibles).
Les systèmes d'intervalles généralisés de Lewin [2] donnent un cadre unifié utilisant la théorie des groupes pour étudier des motifs musicaux comme sous-ensemble d'un espace d'un paramètre musical — la hauteur, le rythme. En particulier, le contenu intervallique, également appelé covariogramme ou autocovariance, et la notion d'homométrie — Z-relation dans la set theory musicale — qui est l'égalité du contenu intervallique, se définissent naturellement dans le cadre des systèmes d'intervalles généralisés munis d'une topologie localement compacte et la mesure de Haar associée. On présentera les propriétés théoriques du contenu intervallique et de l'homométrie, et des exemples avec leurs méthodes de calcul, en particulier dans le cas de groupes non commutatifs et dans le cas continu.