Théorie des groupes, des catégories et des topoï en musique et dans les arts plastiques

Aspects théoriques et perspectives philosophiques

Ircam, Salle I. Stravinsky

Cette séance est organisée en collaboration avec le laboratoire disciplinaire Pensée des Sciences de l’Ecole Normale Supérieure (responsable Prof. Charles Alunni)

• 10h00 - 10h30 - Moreno Andreatta : Présentation de la matinée. Pourquoi des catégories mathématiques pour la musique ?
• 10h30 - 11h15 - Guerino Mazzola : The Topos of Music—Sketches of a MaMuTh Enterprise
• 11h15 - 12h00 - Franck Jedrzejewski : Sur quelques aspects algébriques de la théorie de Costère
• 12h15 - 13h00 - Thomas Noll : Transformational Logics in Harmonic and Metric Analysis

• 14h30 - 15h00 - Charles Alunni : Présentation de l’après-midi. Pourquoi des catégories mathématiques pour la philosophie ?
• 15h00 - 15h45 - Frédéric Patras : L'intuition catégorielle, de l'épistémologie à l'esthétique
• 16h00 - 16h45 - Peer Bundgaard : Les racines dissymétriques de l'invariance perceptive
• 17h00 - 18h00 - Table ronde (avec la participation de Peter Johnstone)

The Topos of Music—Sketches of a MaMuTh Enterprise

Following a series of sometimes very technical talks at IRCAM, I shall this time rather concentrate on the adequacy of topos theory for music, dealing with the questions of

1. formalization of musical ontology (which concept framework? which topoi? which addresses for denotators?),
2. the synthesis of aesthetics and logic (is there a common ground for beauty and truth?), and
3. languages for creativity (in the mental and technological realm).

This will include comments on prominent reactions (is music THAT complicated?) relating to the mathematics used in "The Topos of Music".

Sur quelques aspects algébriques de la théorie de Costère

Dans les années 50, Edmond Costère a proposé un modèle d'affinité pour décrire les qualités intrinsèques et cardinales des accords et des modes du système tempéré. Vingt ans plus tard, E. Terhardt a donné une nouvelle interprétation de l'affinité des sons. Dans la première partie de mon intervention, je montre comment formaliser algébriquement la théorie de Costère. La nouvelle classification des accords qui en résulte peut se paramétrer complètement et accepter d'autres systèmes de poids que les systèmes proposés par Costère et Terdhardt. Le choix de ces valuations qui associent un système de poids à une représentation de l'ensemble des accords assimilé au quotient de Z/12Z par le groupe cyclique du même ordre, semble arbitraire. La question qui se pose est de déterminer s'il existe un système pondéral universel.

Transformational Logics in Harmonic and Metric Analysis

The paper presents investigations following the strands of ideas that Guerino Mazzola and I presented in a joint talk "Extending Set Theory to Harmonic Topology and Topos Logic" at the Set Theory Conference at Ircam in october 2003.

"Transformational Logics" in the title of my paper refers to the topos logics of functor categories. Functors F: C → Sets from a small category C generalize the concept of group- or monoid actions, i.e in my applications I depart from small categories C and interpret functors F: C → Sets music-theoretically as families of transformations on musical objects.

Whenever the category C has non-iso arrows, the resulting transformational logics is intuitionistic rather than classical according to the property of non-wellpointedness. I will discuss natural music-theoretical interpretations of this fact: (1) the possibility of a refined analysis of "non-chord tones" and (2) a spectral approach to metric analysis. As a concrete application I will analyse Alexander Scriabins study Op. 65 no. 3.

L'intuition catégorielle, de l'épistémologie à l'esthétique

À côté de la logique, qui est la science des règles de la pensée, Husserl a conçu l'idée d'une science des contenus possibles de pensée, c'est-à-dire des formes pures des phénomènes -l'ontologie formelle, d'emblée envisagée comme une théorie de type mathématique.

La théorie des catégories permet de commencer à donner corps à cette idée programmatique et, du même coup, invite à repenser les rapports des mathématiques à la matière des phénomènes, c'est-à-dire à l'intuition, aux formes pures de la sensibilité, et à l'esthétique, en particulier musicale.

Les racines dissymétriques de l'invariance perceptive

L'expérience empirique est d'emblée une expérience d'objets généraux. C'est une détection immédiate de traits typiques, si bien qu'avant de reconnaître Médor, nous voyons un chien. A ce titre notre intuition est naturellement catégorielle. Malgré la variation incessante des ses faces présentatrices, la persistance et la continuité de l'objet vécu montrent que la perception humaine est une machine à détecter et à préserver l'invariance du sens de l'objet au coeur même des transformations auxquelles celui-ci est soumis. C'est ce fait qui a incité Cassirer à établir une analogie, audacieuse, entre la détermination des essences géométriques (selon Klein et son Erlanger Programm) et la constitution du sens de l'objet, tous les deux étant définis en fonction de leur invariance à travers un certain type de transformations. Or, qu'il y ait une antécédence de l'invariance au niveau de l'expérience catégorielle n'implique pas qu'elle soit chronologiquement première. A l'antécédence de la continuité au niveau prédicatif correspond une antériorite de la discontinuité au niveau anté-prédicatif.

• Charles Alunni et Éric Brian (sous la direction de): "Pensée des sciences", Revue de Synthèse, éd. Albin Michel, n°1, Paris, 1999.
• Moreno Andreatta: "Méthodes algébriques en musique et musicologie du XXe siècle: aspects théoriques, analytiques et compositionnels", thèse, EHESS/IRCAM, 2003.
• Alain Badiou : Topos ou Logiques de l’onto-logique, Tome 1, Support de cours, Paris, 1998.
• Peer Bundgaard : "Ernst Cassirer’s Theory of Perception: Towards a Geometry of Experience", dans Gunnar Foss et Eivind Kasa (éd.), Forms of Knowledge and Sensibility. Ernst Cassirer and the Human Sciences, Kulturstudier n. 22, Norwegian Academic Press, 2002.
• Edmond Costère : Lois et styles des harmonies musicales? Paris, PUF, 1954.
• Edmond Costère: Mort ou transfiguration de l’harmonie, Paris, PUF, 1962.
• Ernst Cassirer : " The concept of group and the theory of perception ", Philosophy and Phenomenological Research, Vol. V, N. 1, pp. 1-36, 1944.
• Alexander Grothendieck : Récoltes et semailles. Réflexions et témoignage sur un passé de mathématicien (en quatre parties), Université des Sciences et Techniques du Languedoc et CNRS, Montpellier, 1986.
• Franck Jedrzejewski: Mathématiques des systèmes acoustiques. Tempéraments et modèles contemporains, L’Harmattan, 2002.
• Peter T. Johnstone: Sketches of an Elephant: a Topos Theory Compendium, Oxford University Press, 2002.
• F. William Lawvere : " Categories of space and of quantity " (dans J. Echeverria : Philosophical, epistemological and historical Explorations, Berlin, Walter de Gruyter, 1992).
• Guerino Mazzola: " The Topos Geometry of Musical Logic " (dans Gérard Assayag et al. (éd.) Mathematics and Music, Springer, 2002, pp. 199-213).
• Guerino Mazzola : The Topos of Music, Birkhäuser Verlag, Basel, 2003.
• François Nicolas : " Quand l’algèbre mathématique aide à penser (et pas seulement à calculer) la combinatoire musicale ", Séminaire, Ircam, février 2003 (disponible en ligne à l’adresse : http://www.entretemps.asso.fr/Nicolas/TextesNic/mamux.html).
• Fréderic Patras: La pensée mathématique contemporaine, Presses Universitaires de France, 2001.
• Fréderic Patras: " Phénoménologie et théorie des catégories " (Luciano Boi (éd.) : New Interactions of Mathematics with Natural Sciences and the Humanities, Springer (à paraître).
• Jean Piaget (et al. éd.): Morphismes et Catégories. Comparer et transformer, Neuchâtel, Delachaux & Niestlé, 1990.
• E. Lluis-Puebla, G. Mazzola et T. Noll (éd.), Perspectives of Mathematical and Computer-Aided Music Theory, EpOs, Université d’Osnabrück, 2004.

Voir également les séances du Séminaire MaMuX du 17 Novembre 2001 ("Introduction à la Théorie Mathématique de la Musique"), du 15 décembre 2001 ("Théorie des concepts locaux et globaux en musique. Première partie : théorie 'objective'") et du 19 janvier 2002 ("Théorie des concepts locaux et globaux en musique. Deuxième partie : théorie 'fonctorielle'").