Systèmes d'intervalles généralisés et théorie de l'homométrie

Ircam, Salle I. Stravinsky
1, place I. Stravinsky 75004 Paris
(Entrée libre dans la mesure des places disponibles)

Programme PDF

Cette deuxième séance de la dixième saison du Séminaire MaMuX est consacrée à quelques aspects mathématiques et compositionnels de l’homométrie. La théorie des ensembles homométriques apparaît dans les années 30 en cristallographie avec la question de retrouver la structure d'un cristal à partir de sa figure de diffraction, un problème dans lequel une ambiguïté peut exister dans l’étude des distances entre les atomes, deux structures non-équivalentes pouvant avoir le même multi-ensemble de différences [1]. Plus récemment, on retrouve les ensembles homométriques en bioinformatique, liés à des algorithmes de reconstruction de longues séquences [2]. Dans la Set Theory, la Z-relation est liée à la notion de vecteur intervallique d'un ensemble de notes qui correspond à l'ensemble des intervalles qui le composent comptés avec multiplicité [3]. Cette construction a été ensuite généralisée par David Lewin à l’aide du concept de Système d’Intervalles Généralisés [4]. L’interprétation de l’homométrie dans le contexte de la théorie transformationnelle ouvre des questions nouvelles susceptibles d’intéresser à la fois le musicologue, le compositeur et le working mathemusician [5, 6, 7, 8].

• 14h30 – 14h45 : Moreno Andreatta – L’homométrie, entre cristallographie, bioinformatique et théorie de la musique
• 14h45 - 15h30 : Daniele Ghisi – De la Z-relation à l'homometrie : une introduction et quelques exemples musicaux mathématiques et modélisations computationnelles
• 15h30 – 16h15 : Guillaume Lachaussée – Homométrie : formalismes algébriques et méthodes

• 16h45 - 17h30 : John Mandereau - Homométrie dans les systèmes d'intervalles généralisés : théorie et exemples
• Discussion finale

On donne une introduction générale à la théorie de l'homométrie, en prenant comme point de départ son rapport avec la théorie de la Z- relation d’Allen Forte [1]. On montre les propriétés fondamentales avec des exemples d'application aux paramètres musicaux et une application musicale du passage au cas non-commutatif. On élargit le champ en introduisant la k-homometrie et la ZM-relation.

La Z-relation qui apparaît en Set Theory correspond mathématiquement à la notion d'homométrie. On peut généraliser doublement cette notion, à la fois en considérant des motifs non plus de taille 2 (intervalle) mais de taille k (k-deck) ; et en considérant les questions de reconstructibilité pour un groupe quelconque agissant sur un ensemble. Il faut alors veiller à la bonne description des objets mathématiques manipulés. En re-spécifiant le cas d'un groupe fini agissant sur lui-même par translation ou par translation/inversion (ce qui nous fait retomber dans la Set Theory avec G=Z/12Z), on peut alors définir les indices de reconstructibilité pour tous les groupes finis. On fait de plus apparaître une heuristique qui doit permettre de montrer le cas des ensembles (et non multi-ensembles) de Z/12Z qui sont 4-reconstructibles (et pas seulement 6-reconstructibles).

Les systèmes d'intervalles généralisés de Lewin [2] donnent un cadre unifié utilisant la théorie des groupes pour étudier des motifs musicaux comme sous-ensemble d'un espace d'un paramètre musical — la hauteur, le rythme. En particulier, le contenu intervallique, également appelé covariogramme ou autocovariance, et la notion d'homométrie — Z-relation dans la set theory musicale — qui est l'égalité du contenu intervallique, se définissent naturellement dans le cadre des systèmes d'intervalles généralisés munis d'une topologie localement compacte et la mesure de Haar associée. On présentera les propriétés théoriques du contenu intervallique et de l'homométrie, et des exemples avec leurs méthodes de calcul, en particulier dans le cas de groupes non commutatifs et dans le cas continu.

• [1] Joseph Rosenblatt, Paul D. Seymour. The Structure of Homometric Sets, SIAM. J. on Algebraic and Discrete Methods Vol. 3, n° 3, pp. 343- 350, Septembre 1982.
• [2] Alessandra Carbone, « Algorithmes de reconstruction de longues séquences », UE « Algorithmes sur les arbres et les graphes en bioinformatique », Master en informatique, UPMC [http://www.ihes.fr/~carbone/L2_AAGB_sequence_reconstruction.pdf]
• [3] Allen Forte, The Structure of Atonal Theory, Yale University Press, 1973.
• [4] David Lewin, Generalized Musical Intervals and Transformations, Yale University Press, 1987 (new edition: Oxford University Press, 2006)
• [5] Daniele Ghisi, Set omometrici e Z-correlazione, Workshop MMI (Mathématiques/Musique et Informatique), Université de Pisa, 24-25 octobre 2008 [http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/mamux/documents/WorkshopMMI08.html]
• [6] John Mandereau, Étude des ensembles homométriques et leur application en théorie mathématique de la musique et en composition assistée par ordinateur, Mémoire de Master ATIAM, Ircam/Université Paris~6, juin 2009 [http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/MasterMandereau.pdf]
• [7] Guillaume Lachaussée, Théorie des ensembles homométriques, Stage de troisième année de l'Ecole Polytechnique, Master 1 de Mathématiques, juin 2010 [http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/MasterLachaussee.pdf]
• [8] E. Amiot, « On the group of rational spectral units with finite order », preprint, http://arxiv4.library.cornell.edu/abs/0907.0857v1, 2009.
• [9] John Mandereau, Daniele Ghisi, Emmanuel Amiot, Moreno Andreatta, Carlos Agon, « Phase retrieval in musical structures », submitted to the Journal of Mathematics and Music.