École mathématique pour musiciens et autres non-mathématiciens (II)

Animée par Pierre Cartier (IHES)

Comme dans la première séance de l'école, animée par Yves André, il s'agira de rendre compréhensible un concept central de la mathématique la plus contemporaine à des non-spécialistes, en tentant de les mener au cœur de la pensée mathématique la plus active, et sans économiser ni la spécificité de l'écriture mathématique, ni une partie du labeur démonstratif (même si celui-ci ne saurait être, dans le cadre d'une vulgarisation, de nature intégrale). Il ne s'agira pas d' 'appliquer' les mathématiques à la musique, que ce soit sous une modalité technique et calculatoire ou sous une forme plus métaphorique. La 'raisonance' possible du concept mathématique avec la musique ne sera pas au cœur de l'exposé lequel visera, simplement (si l'on ose dire !), à transmettre le plus fidèlement possible, le contenu de pensée investi dans le concept examiné (et, bien sûr, dans la théorie mathématique où il prend place), sans négliger, tout au contraire, les aperçus historiques qui peuvent permettre d'apprécier les problématiques au cœur desquelles se déploie le concept présenté.

Nos vues sur l'espace ont constamment évolué au cours des siècles. Quoi de commun en apparence entre la vision du monde d'Euclide, rendue dynamique par Galilée et Newton, à celle d'Einstein qui avance dans le sens d'une géométrisation, et enfin le monde si troublant introduit par Heisenberg sous le nom de mécanique quantique ? Chacune de ces représentations comporte avec elle une notion appropriée de symétrie. Des symétries passives de la géométrie euclidienne et de la cristallographie, aux symétries dynamiques exprimées au moyen de la théorie des groupes, le chemin est long et mouvementé. Mais l'aventure n'est pas achevée, et de nouveaux défis nous attendent si nous voulons comprendre le vivant et ses symétries bien particulières.

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La manière de raisonner probabiliste est spéciale, et pas toujours comprise des mathématiciens et autres non-musiciens. Je commencerai par un exposé historique retraçant les débuts de la science des probabilités (Pascal, Fermat, de Moivre, Laplace, Condorcet). J'expliquerai ensuite la lente montée vers une présentation conforme aux canons mathématiques (J. Bertrand, Poincaré, Borel, de Finetti, Reichenbach, Carathéodory) avant d'arriver à l'axiomatique de Kolmogoroff. Dans la dernière partie, on tentera de décrire les enjeux actuels de cette science et de la distinguer de la statistique.

Le grand tournant dans les outils et les concepts du Calcul des Probabilités est dû, au début du XXe siècle, aux efforts combinés de Poincaré, Einstein, Borel et Steinhaus. L'étape suivante fut, conformément au programme de Hilbert sur l'axiomatisation de la Physique, accompli par Kolmogoroff dans ses « Grundbegriffe ». Mais ceci n'aurait pas été possible sans les contributions de Wiener et Kolmogoroff lui-même. L'outil abstrait de Kolmogoroff avait ensuite besoin d'être approfondi et affiné avant que, vers 1950, les traités de Loeve et Doob ne permettent la « vulgarisation » des idées mères de Kolmogoroff. On a ensuite assisté à un approfondissement des méthodes de l'Analyse Fonctionnelle, dû pour l'essentiel à l'Ecole Russe , et des développements plus probabilistes (Feller, Getoor, Neveu, Meyer, mais surtout Ito). On terminera par un tableau de la science des probabilités, vers 1980, avant que ne s'opère une jonction remarquable avec les développements venus de la Physique (Nelson, Wightman, Fröhlich, Brydges, … ). Le XXIe siècle s'annonce très prometteur !

Le grand tournant dans les outils et les concepts du Calcul des Probabilités est dû, au début du 20ème siècle, aux efforts combinés de Poincaré, Einstein, Borel et Steinhaus. L'étape suivante fut, conformément au programme de Hilbert sur l'axiomatisation de la Physique, accompli par Kolmogoroff dans ses "Grundbegriffe". Mais ceci n'aurait pas été possible sans les contributions de Wiener et Kolmogoroff lui-même. L'outil abstrait de Kolmogoroff avait ensuite besoin d'être approfondi et affiné avant que, vers 1950, les traités de Loeve et Doob ne permettent la "vulgarisation" des idées-mères de Kolmogoroff.

Après 1950, on a assisté à un approfondissement des méthodes de l'Analyse Fonctionnelle, dû pour l'essentiel à l'Ecole Russe, et des développements plus probabilistes (Feller, Getoor, Neveu, Meyer, mais surtout Ito). On terminera par un tableau de la science des probabilités, vers 1980, avant que ne s'opère une jonction remarquable avec les développements venus de la Physique (Nelson, Wightman, Fröhlich, Brydges, … ). Le 21ème siècle s'annonce très prometteur.

On se propose de décrire le modèle d'Ising , en termes physiques et combinatoires. Puis on posera le problème de la limite thermodynamique et de la limite continue , menant à la notion de domaine (de Weiss). On introduira ensuite les notions diverses d'entropie, et les théorèmes de concentration correspondants. On sera alors équipé pour des applications à la physique statistique , la chimie , la biologie …

L'école Mathématique pour musiciens et d'autres non-mathématiciens est organisée sous l'égide du séminaire Mathématiques/Musique et Philosophie (dir. François Nicolas, Charles Alunni et Moreno Andreatta) et du séminaire MaMuX (Mathématiques/Musique et relations avec d'autres disciplines, coorganisé par Moreno Andreatta et Carlos Agon). Avec le soutiens du CNRS (UMR 9912 Sciences et technologies de la musique et du son)

Pour tout renseignement, contacts et propositions sur l'école, le séminaire MaMuPhi ou le séminaire MaMuX :

François Nicolas: fnicolas@ens.fr
Charles Alunni: Charles.Alunni@ens.fr
Moreno Andreatta: andreatta@ircam.fr
Carlos Agon Amado: agonc@ircam.fr