École mathématique pour musiciens et autres non-mathématiciens (I)

Animée par Yves André (CNRS/Ens)

Il s'agira de rendre compréhensible un concept central de la mathématique la plus contemporaine à des non-spécialistes, en tentant de les mener au cœur de la pensée mathématique la plus active, et sans économiser ni la spécificité de l'écriture mathématique, ni une partie du labeur démonstratif (même si celui-ci ne saurait être, dans le cadre d'une vulgarisation, de nature intégrale). Il ne s'agira pas d'"appliquer" les mathématiques à la musique, que ce soit sous une modalité technique et calculatoire ou sous une forme plus métaphorique. La 'raisonance' possible du concept mathématique avec la musique ne sera pas au cœur de l'exposé lequel visera, simplement (si l'on ose dire !), à transmettre le plus fidèlement possible, le contenu de pensée investi dans le concept examiné (et, bien sûr, dans la théorie mathématique où il prend place), sans négliger, tout au contraire, les aperçus historiques qui peuvent permettre d'apprécier les problématiques au cœur desquelles se déploie le concept présenté.

• [1] A. Connes, Géométrie non commutative, Inter éditions, Paris, 1990 (réédité éditions Dunod, 2005)
• [2] J.-Y. Girard, Le Point Aveugle. Cours de théorie de la démonstration, Roma Tre, Octobre-Décembre 2004. En cours de publication chez Hermann, collection "Visions des Sciences". Tome I, Vers la perfection, Juin 2006, 296 pp.
• [3] J.-Y. Girard, "Introduction aux algèbres d'opérateurs I : Des espaces de Hilbert aux algèbres stellaires", texte inédit disponible à l'adresse : http://recherche.ircam.fr/equipes/repmus/mamux/AlgOpGirard.pdf
• [4] L. Schwartz, Analyse hilbertienne, Hermann, Paris, 1979
• [5] J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien (Algèbres de von Neumann), Editions Jacques Gabay, 1996 (reprint)
• [6] V. S. Sunder, An Invitation to Von Neumann Algebras, Springer, 1987

• [1] A. Badiou, Logiques des Mondes, Seuil, 2006
• [2] N. Bourbaki, Topologie générale, Hermann, 1971
• [3] P. Cartier, "Catégories, logique et faisceaux ; modèles de la théorie des ensembles", Séminaire Bourbaki, exposé 513, 1978
• [4] P. Cartier, "Grothendieck et les motifs", Prépublication IHES (2000)
• [5] A. Grothendieck, Récoltes et Semailles, notes miméographiées (désormais accessibles sur la Toile comme fichier PDF)
• [6] L. Illusie, "What is a topos ?", Notices of the AMS 51, 9 (2004), 1060-106
• [7] S. Mac Lane, I. Moerdijk, Sheaves in geometry and logic. A first introduction to topos theory. Universitext. Springer-Verlag, New York, 1994
• [8] C. Mac Larty, "The uses and abuses of the history of Topos Theory", The British Journal for the Philosophy of Science, 2003
• [9] G. Mazzola, The topos of Music, Birkhäuser, 2002 (flyer)
• [10] J. Roubaud, Mathématique : (récit), Seuil, 1997
• [11] R. Thom, "Aristote topologue", Revue de Synthèse (1999), 39-48
• [12] H. Weyl, Die Idee der Riemannschen Fläche, 1913

• [1] N. Abel, « Sur la résolution algébrique des équations », Oeuvres t. II.
• [2] Y. André, Une introduction aux motifs, Panoramas et Synthèses 17, SMF, 2004.
• [3] G. Bachelard, Le rationalisme appliqué, P. U. F. 1949.
• [4] P. Cartier, « La folle journée, de Grothendieck à Connes et Kontsevich », Festschrift des 40 ans de l'IHES.
• [5] A. Connes, « La pensée d'Evariste Galois et le formalisme moderne » (en PDF)
• [6] G. Deleuze, Différence et répétition, P. U. F. 1968
• [7] R. et A. Douady, Algèbre et théories galoisiennes II, Cedic, 1979
• [8] E. Galois, Oeuvres mathématiques, suivies d'une notice de G. Verriest, Gauthiers-Villars, 1951
• [9] A. Grothendieck, Esquisse d'un programme.
• [10] A. Lautman, Essai sur les notions de structure et d'existence en mathématiques. Réédition Vrin 2006.
• [11] G. Mazzola, « Towards a Galois Theory of Concepts ». In : Mazzola G., Th. Noll and E.-L. Puebla (eds.) : Perspectives in Mathematical and Computational Music Theory, EpOs Osnabrück, 2004 (en ligne en format HTML).
• [12] M. van der Put, M. Singer, Galois theory of linear differential equations, Springer Grundlehren der Math. Wiss. 328, 2003
• [13] I. Stewart, Galois theory, Chapman and Hall, 2. ed., 1989
• [14] J. Vuillemin, Philosophie de l'algèbre, P.U.F, 1962.

On commencera par une présentation des idées fondamentales de linéarisation et de représentation en mathématique, avant d'esquisser la théorie des représentations linéaires des groupes, initiée (dans le cas des groupes finis) par Frobenius à la fin du XIXe siècle. Un acteur majeur fut H. Weyl qui, en liaison avec ses travaux sur les fondements de la mécanique quantique, fit la jonction inattendue avec l'analyse harmonique de Fourier et créa l'analyse harmonique non-commutative.

Le rêve de Burnside de mettre à profit l'impressionnante effectivité de la théorie des représentations linéaires pour classifier tous les groupes finis simples s'est finalement réalisé au bout d'un siècle. Entre-temps, cette théorie avait permis à Killing et Cartan de classifier tous les groupes infinis "continus" simples. Nous terminerons en expliquant comment le problème général de classification des représentations linéaires mène à une trichotomie (fini, modéré, sauvage), et comment l'indécidabilité surgit au cœur de situations extrêmement concrètes et apparemment élémentaires.

• [1] M. Andreatta, G. Mazzola, « Formulas, Diagrams, and Gestures in Music », Journal of Mathematics and Music, 2007.
• [2] G. Bachelard, Le matérialisme rationnel, P. U. F. 1953.
• [3] D. Benson, Representations and cohomology I : basic representation theory of finite groups and associative algebras, Cambridge studies in advanced mathematics 30 (1995).
• [4] T. Coquand, B. Spitters, « A constructive proof of the Peter-Weyl theorem », Math. Log. Quart. 0 (2004), 1-12.
• [5] A. Kirillov, Éléments de la Théorie des Représentations, (traduction française du russe). Éditions MIR, Moscou (1974).
• [6] A. Lautman, Essai sur les notions de structure et d'existence en mathématiques. Réédition Vrin 2006.
• [7] G. Mackey, « The scope and history of commutative and noncommutative harmonic analysis », History of mathematics, vol. 5, A. M. S., L. M. S. (1992).
• [8] J. P. Serre, Représentations des groupes finis, 5ème éd., Hermann (1998).
• [9] H. Weyl, Gruppentheorie und Quantenmechanik (1928), transl. by H. P. Robertson, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, 1931, rept. 1950, Dover.
• [10] H. Weyl, Classical Groups : Their Invariants And Representations, Princeton (1939).

L'acception la plus courante du terme "singularité" en mathématique est celle qui s'oppose à "lissité": il s'agit du lieu - grain, pli, fronce, etc.. - où le principe général de linéarisation tombe en défaut. Au cours d'une présentation phénoménologique des singularités et bifurcations (comment elles apparaissent, se déploient, disparaissent - en laissant des traces…), nous nous attacherons à illustrer deux "thèses" qui se dégagent de la théorie foisonnante des singularités: 1) un peu à la manière de Platon dans le Timée, cette théorie jette un pont (très subtil) entre le monde continu et le monde discret, 2) comme disait P. Montel (en exagérant volontairement), "les fonctions sont, comme les êtres vivants, caractérisées par leurs singularités".

• [1] V. Arnold: Catastrophe theory, Springer, 1983
• [2] (images) pages web d'Innsbruck (H. Hauser et al.):
  • http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/bildergalerie/gallery.html
  • http://www1-c703.uibk.ac.at/mathematik/project/animationenvonflaechen/start.html

La dualité est présente depuis la nuit des temps dans la pensée humaine. Elle était à la base de la conception du monde des anciens égyptiens, bâtie sur des doublets conceptuels antagonistes. Elle a traversé toute la philosophie occidentale, de Platon à Descartes et au-delà, en se modifiant considérablement. En physique, rappelons le rôle capital joué par la dualité onde-corpuscule dont l'histoire s'étend de Huygens et Newton à Heisenberg.

Aussi est-il curieux de constater que la dualité ne fait son entrée que tardivement en mathématiques, dans les années 1820 (à propos de géométrie projective). Cette idée fondamentale a peu à peu essaimé, sous divers avatars, dans toutes les branches des mathématiques, tout en conservant son sens original extrêmement précis.

• [1] M. Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodesen géométrie, 1837.
• [2] G. Chatelet, Les enjeux du mobile, Seuil, ch. 5.
• [3] A. De Morgan, Formal Logic : or, The calculus of inference, necessary and probable. Publié par Taylor and Walton, 1847,
• [4] J.D. Gergonne, Réflexion sur le précédent article. Annales de Gergonne, 17 (1826-1827), p. 272-276
• [5] J.D. Gergonne, Polémique mathématique. Réclamation de M. le capitaine Ponce-let (extraite du bulletin universel des annonces et nouvelles scientifiques) ; avec des notes. Annales de Gergonne, 18 (1827-1828), p. 125-125
• [6] A. Lautman, Essai sur les notions de structure et d'existence en mathématiques. Réédition Vrin 2006, p. 157 et sq, p. 271 et sq.
• [7] J.V. Poncelet, Traité des propriétés projectives des figures, 1822.
• [8] http://www.photogrammetry.ethz.ch/research/bamiyan/pub/index.html

Les Mathématiques passent, pour de bonnes et de mauvaises raisons, pour la science de l'infini. Il est indéniable que l'infini est, de nos jours, le pain quotidien du mathéma-ticien. Sa mie n'est pas toujours tendre, mais il a perdu sa croûte métaphysique, et avec elle la méfiance et la répugnance qu'il a inspirées aux mathématiciens, de l'antiquité jusqu'au début du XXe siècle.

Les textes des interventions d'Yves André sont réunis dans l'ouvrage Leçons de Mathématiques contemporaines à l'IRCAM (inédit), disponible ici en pdf.

Table des matières détaillée

• Introduction
• 1 Espace I. Topos
• 2 Espace II. Algèbres d'opérateurs
• 3 Symétries I. Idées galoisiennes
• 4 Symétries II. Représentations linéaires
• 5 Singularités
• 6 Dualité
• 7 "Des infinis subtils"
• 8 Épilogue : s'orienter dans la pensée mathématique (version abrégée d'un texte à paraître dans un numéro spécial de la Revue de Synthèse, "Mathématique, Musique et Philosophie", sous la direction de Charles Alunni, Moreno Andreatta et François Nicolas)

Index terminologique, Index de mathématiciens cités et Glossaire des structures de base

Animée par Pierre Cartier

L'école Mathématique pour musiciens et d'autres non-mathématiciens est organisée sous l'égide du séminaire Mathématiques/Musique et Philosophie (dir. François Nicolas, Charles Alunni et Moreno Andreatta) et du séminaire MaMuX (Mathématiques/Musique et relations avec d'autres disciplines, coorganisé par Moreno Andreatta et Carlos Agon). Avec le soutiens du CNRS (UMR 9912 Sciences et technologies de la musique et du son)

Pour tout renseignement, contacts et propositions sur l'école, le séminaire MaMuPhi ou le séminaire MaMuX :

François Nicolas: fnicolas@ens.fr
Charles Alunni: Charles.Alunni@ens.fr
Moreno Andreatta: andreatta@ircam.fr
Carlos Agon Amado: agonc@ircam.fr