Formalisations et représentations musicales : entre Set-Theory, théories diatoniques et approches néo-riemanniennes

• 10h - 10h45 - Nicolas Meeùs : Tonal Pitch Spaces et vecteurs harmoniques. De quelques représentations spatiales de la tonalité.
• 11h - 11h45 - Jean-Marc Chouvel, Gérard Assayag, Jean-Pierre Cholleton : La représentation hexagonale toroïdale, application à l'analyse harmonique de la musique d'Hermeto Pascoal.
• 12h - 12h45 - Franck Jedrzejewski : Cyclicité des tempéraments, groupes de symétrie et théorie des nœuds (présentation pdf)

• 14h30 - 15h15 - Moreno Andreatta : Introduction à la Set-Theory généralisée de David Lewin.
• 15h30 - 16h15 - Thomas Noll : Tone Apperception, Weber-Fechner's Law and the GIS-Model. [pdf]
• 16h30 - 17h15 - Xavier Hascher : Sur les réseaux de Klumpenhouwer.

Plusieurs théories récentes de la tonalité ont développé des représentations spatiales qui s'inspirent de modèles conçus au 18e siècle. L'une des plus abouties parmi ces représentations est celle que Fred Lerdahl propose dans Tonal Pitch Space (New York, OUP, 2001). Cette théorie sera mise en contraste avec ma propre théorie des Vecteurs harmoniques. Je m'efforcerai de montrer que Lerdahl voit la tonalité comme un phénomène précompositionnel, inscrit dans les mécanismes de la perception : chaque œuvre tonale est pour lui une instanciation particulière des propriétés cognitives du système. Je considère pour ma part au contraire que chaque œuvre tonale recrée la tonalité ou, du moins, qu'une théorie de la tonalité est plus efficace si elle ne pose pas l'existence a priori du système tonal.

La représentation hexagonale toroïdale est particulièrement cohérente avec les symétries spécifiques du système tempéré à 12 sons. Dans le prolongement des théories néo-riemanniennes, elle permet en particulier de rendre compte des distances harmoniques et contrapunctiques et de visualiser les configurations d'accords bien au-delà du système tonal. Un exemple particulièrement propice de son application est donné par les œuvres du compositeur Brésilien Hermeto Pascoal.

La représentation hexagonale toroïdale a donné lieu à la réalisation d'un programme de visualisation automatique dans OpenMusic, qui permet de rendre compte, à partir d'un fichier MIDI quelconque, du comportement harmonique d'un morceau, et d'en donner un compte-rendu paradigmatique.

Dans cette conférence, je montre que le problème de la classification des tempéraments et des systèmes acoustiques est un problème de topologie. La théorie des langages formels et les représentations de groupes aident à cartographier la hiérarchie des tempéraments mais n'offrent pas une résolution complète du problème. Les réseaux de fréquences et les repliements des structures sur elles-mêmes - à la manière du chat d'Arnold - illustrent la complexité de cette classification. Les singularités qui apparaissent dans les distances harmoniques et les commas de Hellegouarch, la répartition spatiale des rapports superpartiels sont les indices de ce problème topologique. En représentation spatiale sur une base de nombres premiers, les groupes de symétrie des systèmes acoustiques s'apparentent aux groupes cristallographiques de l'espace euclidien à d dimensions. Les groupes de frises classent une partie des structures musicales du plan, comme en dimension supérieure, les tempéraments de Bravais. Les suites et tempéraments de Farey peuvent être vus comme une enveloppe supérieure des problèmes de l'intonation juste. Dans ce contexte, la théorie des nœuds offre une cartographie plus fine des problèmes topologiques de faibles dimensions et est parfaitement adaptée à l'analyse et la classification des systèmes acoustiques. Pour conclure, je montre comment utiliser les tresses et les entrelacs dans l'analyse et la composition musicale.

Plusieurs analystes partagent l'avis d'Ian Bent qui considère l'approche transformationnelle développée par David Lewin dans les années Quatre-Vingt et formalisée dans l'ouvrage Generalized Musical Intervals and Transformations (Yale University Press, 1987) comme "un nouveau paradigme du point de vue de la théorie de la musique " (Cf. New Grove Dictionary Online : "Theory"). Cette démarche, qui généralise la Set-Theory d'Allen Forte, permet de formaliser la notion d'espace musical à l'aide de la structure de "Système d'Intervalles Généralisés" (GIS), un concept théorique qui est aussi à la base d'une nouvelle approche dans l'analyse musicale (théorie transformationnelle). On montrera plusieurs exemples musicaux de la structure de GIS et l'on discutera quelques éléments problématiques de l'analyse transformationnelle (en particulier dans un point de vue mathématique).

The talk presents a transdisciplinary elaboration of earlier stages of investigation into apperception of tones (presented together with Andreas Nestke at the MaMuPhi Seminar in April 2001 und at the MaMuX-Seminar in April 2002). We recall Wilhelm Wundt's concept of apperception which applies an eye metaphor to the interaction of ideas and attention. Of special interest to our approach is Wundt's idea to interpret Weber-Fechner's Law as a special case of a general law of apperception. His psychological interpretation generalizes the mere psycho-physical law in connection with a relativity principle for mental activity.

Our attempt to realize Wundt's idea in music-theoretical terms is not a proper psychological investigation and the resulting concept of tone apperception has yet more affinity to a semiological understanding of mental activity. With regard to Weber-Fechner's law we distinguish between actual and virtual apperception. Actual tone apperception, on the one hand, describes apperceptive processes as concatenations of apperceptive acts. Virtual apperception, on the other hand, describes mental measurement in terms of noticability vectors and their additivity. These levels are described mathematically in terms of a Lie group G and its corresponding Lie algebra A. Weber-Fechner's Law is manifested in the exponential mapping exp: A → G which mediates between the two. We argue that this model and its motivation is very close to David Lewin's concept of generalized interval- and transformational systems.

With regard to the relativity principle we recall the idea of a "space of ideas" (c.f. my talk in November) and especially Bernhard Riemann's concept of a manifold, which Guerino Mazzola applied to Music in terms of global compositions. The study of apperception as a study of mental activity introduces a kinematic view on such mathematical models of musical structure. In this respect the relativity principle can be drawn as a consequence from Mazzola's insight, that the particular choices of perspectives (i.e. charts of a manifold) are music-theoretically relevant. If tone apperception consists in the active localisation of a tone idea within an attentional perspective one has to distinguish between shifts of a tone idea within a fixed perspective from shifts of a perspective with respect to a fixed tone idea. The former are called steps while the latter are called alterations. The implicit voluntarism behind this dialogue principle of apperception is formulated as an additional economy principle which has a formal analogy to the treatment of causality in special relativity.

On the background of these principles we discuss Fred Lerdahl's study of pathways in regional space and related problems. Finally we review our previous findings on enharmonicity in the four-dimensional active tone system and compare it with an approach of Edward Gollin to music-theoretically interpret various levels of group presentations. We interpret these results on the background of some general considerations on the study of tone relations and their conflicts.

La Set-Theory établit une relation d'équivalence entre les collections de classes de hauteurs (CCH = P[itch-]C[lass] Sets) dont elle traite en les réduisant à un ensemble fini de formes primaires ou normatives ("Prime Forms") au moyen des opérations T (transposition) et I (inversion). Les autres relations privilégiées sont celles d'inclusion et de complémentarité. En d'autres termes, elle compare chaque collection selon les classes de hauteurs qu'elle contient.

Mais la théorie reconnaît également une parenté étroite entre deux CCH dont le vecteur d'intervalles ("Interval Vector", qui résume la totalité des intervalles existant entre les classes de hauteurs d'une collection donnée) est identique alors que leurs formes primaires sont différentes : cette relation particulière, la relation "Z", a été mise en évidence par D. Lewin dès les années 1960. D'autres relations entre les collections dérivent de la comparaison de leurs vecteurs (R0, R1, R2). Ces relations, décrites par A. Forte, sont intéressantes en ce qu'elles ne s'attachent pas aux éléments de chaque collection en eux-mêmes, mais à leurs relations internes, ici limitées à T.

L'idée du musicologue canadien Henry Klumpenhouwer, alors qu'il étudiait à Harvard sous la direction de D. Lewin, fut de décrire chaque collection en fonction d'un réseau ("Network") de relations définies par T et I. En comparant ces descriptions, H. Klumpenhouwer a établi que des CCH différentes pouvaient présenter des réseaux similaires, ou isographiques. Cette idée a été développée à la fois par H. Klumpenhouwer et par D. Lewin à partir des années 1990, conduisant à élaborer, au-delà des réseaux décrivant les CCH elles-mêmes, des réseaux de réseaux de niveau supérieur susceptibles de rendre compte d'un plan moyen ou d'un arrière-plan compositionnel en isographie avec les réseaux de surface.