Théorie des nœuds et des tresses en mathématique et musique

Ircam, Salle O. Messiaen
1, place I. Stravinsky 75004 Paris
Entrée libre dans la mesure des places disponibles

• 14h00-14h15 Moreno Andreatta : Présentation de la séance.
• 14h15-15h00 Patrick Dehornoy: Le calcul des tresses (présentation pdf)
• 15h15-16h00 Franck Jedrzejewski : Tresses néoriemanniennes (présentation pdf)
• 16h15-17h00 Thomas Noll : Music-Theoretical Interpretations of the Artin Relation (présentation pdf)
• Discussion

Le calcul des tresses

On évoquera deux aspects distincts, sinon disjoints, des tresses : les tresses comme outil de codage et de modélisation, et les tresses comme objet d'étude mathématique. De ce dernier point de vue, les tresses donnent lieu a une théorie profonde qui a des ramifications dans de nombreux domaines: algèbre, combinatoire, géométrie, topologie, informatique, cryptographie, et même physique mathématique et théorie des ensembles. On donnera une idée de cette théorie et des structures qu'elle met en jeu en décrivant quelques outils d'un calcul des tresses qui apparaît comme une sorte d'extension du calcul des nombres entiers. Il restera ensuite à discuter l'éventuelle pertinence de tels développements du point de vue de la musique.

Tresses néoriemaniennes

On propose trois applications de la théorie des nœuds au domaine musical. La première application est une interprétation de la spirale des quintes repliée à l'octave d'un modèle pythagoricien. En distinguant quinte juste et quinte pliée, on construit un modèle d'enharmonicité fondé sur le groupe des tresses. Le même procédé appliqué aux tierces naturelles conduit à divers modèles néoriemanniens dans lesquels l'enharmonicité contraint le comma syntonique à jouer le rôle d'une approximation de l'unité. La deuxième application montre comment les diagrammes de cordes des séries dodécaphoniques sont liés aux constellations et au groupe cartographique. Enfin, la dernière application met en évidence des structures nodales dans les textes littéraires ou musicaux.

Music-Theoretical Interpretations of the Artin Relation*

A unified theory of harmonic tonality must get three main components into a single picture: firstly, diatonic scales and their alterations, secondly, triads and quadriads (seventh chords) with their kinship relations and thirdly, the twelve-tone chromatic with its inner transformations. Depending from which component one departs, one may consider the other ones as derivatives while loosing some genuine characteristics.

It became popular within XXth century theories of tonal music to study diatonic and triadic structures within an ambient twelve-tone-universe. A lot of interesting structural observations on the basis of mathematical investigations support this decision. Furthermore one avoids identity paradoxes which typically occur in the traditional diatonic and triadic analyses such as in the tradition of Schenker or Riemann.

However, the question remains open, whether these identity paradoxes are merely weaknesses of the traditional theories or whether they reflect proper musical phenomena. Cognitively oriented researchers tend to see enharmonic and modulatory paradoxes as contextual ambiguities and see no urge in their investigation in depth.

Phenomenologically oriented authors spend more attention to them in descriptive terms, but do not articulate a need in a mathematical theory.

Since several years my research is dedicated to a better understanding of this problem. In collaboration with Andreas Nestke I have been working on a theory of syntonic and enharmonic identifications in terms of the modular group Gamma = SL(2,Z). Later, the interpretation of this group in terms of symplectic transformations brought a dynamical interpretation of modulatory paradoxes into play.

The fact that SL(2,Z) is a factor of the Artin group B3 provides a mathematical link to Franck Jedrzejewski's applications of Braid groups to musical scales. In my talk I will therefore focus on three music-theoretical interpretations of the Artin relation PQP = QPQ:

1. for syntonic indentification (as proposed in the MaMuPhi-talk on february 3, 2001 (together with Andreas Nestke): "Enharmonicity as a Key to a Cognitive Dynamics of Music" and the MaMuX-talks "The Curved Euler Net" and "The active tone system" on april 13, 2002)
2. for modulatory identification (such as in my MaMuX talk "Tone Apperception, Weber-Fechner's Law and the GIS-Model" on december 14, 2002)
3. for octave identification (proposed by Franck Jedrzejewski in a private communication 2006).