Pavages et problèmes de combinatoire en théorie et composition musicale

Ircam, Salle I. Stravinsky

• 10h - 10h40 - Moreno Andreatta : Présentation de la journée. Le pavage en musique comme problème " mathémusical " (ppt)
• 10h45 - 11h30 - Emmanuel Amiot : Connaissiez-vous {1, 7, 5, 10, 2, 1, 5, 7, 10, 2, 6, 15, 2, 6, 6, 11, 1, 1, 6, 6, 9, 3, 5, 17} ?
• 11h45 - 12h30 - Franck Jedrzejewski : Produits tensoriels de pavages et caractérisation des canons de Vuza
  (PDF et table canons de pavage).
• Discussion

• 14h30 - 15h15 - Georges Bloch : Noël des Chasseurs : un post-scriptum à une récente thèse de doctorat…
• 15h30 - 16h15 - Tom Johnson : Perfect Rhythmic Tilings (pdf)
• Discussion

Connaissiez-vous {1, 7, 5, 10, 2, 1, 5, 7, 10, 2, 6, 15, 2, 6, 6, 11, 1, 1, 6, 6, 9, 3, 5, 17} ?

Il existe des canons rythmiques réguliers complémentaires de catégorie maximale (Vuza, 1991) que l'algorithme de Dan Tudor Vuza ne fournit pas. Est-il envisageable de les déterminer, tous ou une partie d'entre eux ? Comment ? Pourquoi ?

Produits tensoriels de pavages et caractérisation des canons de Vuza

Après un rappel sur la décomposition de l'ensemble Z/nZ en somme directe et une description des pavages de la ligne et du cercle, je présente une construction des canons réguliers non-isomorphes par produits tensoriels d'éléments simples. Inversement, je montre comment décomposer un canon représenté par une table en somme directe de deux ensembles et en produits tensoriels. La question des pavages à plusieurs tuiles ainsi que les problèmes de pavages d'accords sont illustrés sur quelques exemples. Dans une deuxième partie, je présente des illustrations musicales de métacanons construits par Larry Polansky. Dans la troisième et dernière partie je donne l'expression mathématique d'un canon de Vuza et je postule une génératrice. Je montre qu'elle se vérifie sur les premiers cas simples.

Noël des Chasseurs : un post-scriptum à une récente thèse de doctorat…

L’algorithme de Vuza fournit des canons de pavage, mais lors de leur utilisation musicale, on trouve un certain nombre de processus qui permette de les utiliser différemment. Réduction de voix, passage par cribles pour faire correspondre des combinaisons de voix à un rythme prédéterminé, contraintes harmoniques et même modifications rythmiques qui font perdre la qualité de pavage, tout en conservant une organisation homogène.

Perfect Rhythmic Tilings

A "perfect triplet tiling" is a line of 3n points, tiled by a triplet rhythm (0,1,2) in n voices, each voice having a different tempo. The shortest solution is a five-voice 15-point tiling, which I used in "Tilework for Piano," but this is only the beginning of a tiling subject rather different from those treated earlier in MaMuX sessions.

• Emmanuel Amiot: "Why rhythmic Canons are interesting", à paraître dans E. Lluis-Puebla, G. Mazzola et T. Noll (éd.), Perspectives of Mathematical and Computer-Aided Music Theory, EpOs, Université d’Osnabrück
• Moreno Andreatta: "Méthodes algébriques en musique et musicologie du XXe siècle: aspects théoriques, analytiques et compositionnels", EHESS/IRCAM, 2003 (disponible en ligne à l’adresse: http://www.ircam.fr/equipes/repmus/moreno/).
• Harald Fripertinger: "Enumeration of non-isomorphic canons", Tatra Mt. Math. Publ. 23, 2001 (disponible en ligne à l’adresse: http://www-ang.kfunigraz.ac.at/~fripert/canons.html).
• Harald Fripertinger: "Tiling problems in music theory", à paraître dans E. Lluis-Puebla, G. Mazzola et T. Noll (éd.), Perspectives of Mathematical and Computer-Aided Music Theory, EpOs, Université d’Osnabrück (disponible en ligne à l’adresse: http://www-ang.kfunigraz.ac.at/~fripert/tilings.html).
• Tom Johnson: " Tiling the line (pavage de la ligne)", JIM, Bourges, June 2001.
• Andranik Tangian: The sieve of Eratosthene for Diophantine in integer polynomials and Johnson’s problem ", Discussion paper N. 309, FernUniversität, Haagen, 2002.
• Dan Tudor Vuza : " Supplementary Sets and Regular Complementary Unending Canons " (in 4 parts), Perspectives of New Music, 29(2), pp. 22-49, 1991; , 30(1), pp. 184-207, 1992; 30(2), pp. 102-125, 1992; 31(1), pp. 270-305, 1993.
• Dan Tudor Vuza: " Supplementary Sets - Theory and Algorithms, Muzica n°1 ", pp. 75-99, 1995.
• John Wild: "Tessellating the chromatic" (to appear in the next issue of Perspectives of New Music).

Voir également la séance du Séminaire MaMuX du 9 Février 2002 : "Mosaïques et pavages dans la musique" (avec la participation d’Emmanuel Amiot, Georges Bloch, Harald Fripertinger, Tom Johnson et Andranik S. Tangian).